PGR21.com 배너 1

- PGR21 관련된 질문 및 건의는 [건의 게시판]을 이용바랍니다.
- (2013년 3월 이전) 오래된 질문글은 [이전 질문 게시판]에 있습니다.
통합 규정을 준수해 주십시오. (2015.12.25.)
Date 2023/05/12 15:30:29
Name 진소한
Subject [질문] 포물선과 미분을 이용한 최소값 관련 문제 질문입니다.
포물선 y^2=4px 내부의 한 점 R의 좌표를 (a, b)라 할 때, 점R에서 포물선 상의 한 점 P와까지의 거리와 점P에서 초점F(p, 0)까지의 거리의 합이 최소값을 갖게 하는 점P는 점 R을 지나고 포물선의 축과 평행한 직선을 지남을 보여라.

원문은 Calculus: An Intuitive and Physical Approach의 Chapter 8 section 5 연습문제 11입니다.
Given a point R with coordinates (a, b) in the interior of the parabola y^2=4px, show that the shortest path from R to a point P of the parabola and from P to the focus (p, 0) is the one determined by the point P which lies on the line through R parallel to the axis.( If we recall that light from the focus after reflection at the parabola goes out parallel to the axis, this problem shows that light takes the shortest path and, because it travels in one medium, it takes the least time.)

포물선의 한 점 P를 (x, y)라 하고 경로를 D라 한 뒤  D를 미분하면 (y-b)를 공통인수를 한 식이 나오고 따라서 y=b가 D의 미분을 0으로 만드는 해 입니다. 이 극값으로 이후에 어떻게 수학적으로 엄밀하게 최소값인지 보이는 방법을 모르겠습니다.

통합규정 1.3 이용안내 인용

"Pgr은 '명문화된 삭제규정'이 반드시 필요하지 않은 분을 환영합니다.
법 없이도 사는 사람, 남에게 상처를 주지 않으면서 같이 이야기 나눌 수 있는 분이면 좋겠습니다."
Mattia Binotto
23/05/12 16:05
수정 아이콘
그냥 고등학교 식으로 PF의 길이가 P에서 준선 x=-p까지의 거리와 같다는 포물선의 정의를 이용해서 거리 D를 다시 쓰고 그의 최소값이 직선임을 보이는게 훨씬 쉬울 것 같은뎁쇼...
진소한
23/05/12 16:31
수정 아이콘
(수정됨) 기하학적으로는 포물선의 특성과 최단거리가 직선인걸 이용하는 것이 훨씬 간편한데 단지 문제의 의도가 미분으로 극값을 구한 뒤 최소값을 찾는 것이라서요.
원래 D를 구할 때 제곱근{(x-p)^+y^2}이 P와 초점F간의 거리인데 y^2=4px를 대입하고 풀면 어차피 p+x라 준선과 점P와의 거리와 같습니다.
메피스토
23/05/12 16:43
수정 아이콘
(수정됨) y=b면 dD/DX=0인 값이어야 하고
1+(x-a) / sqrt((x-a)^2) = dD / dx 뭐 이렇게 될텐데
분모쪽 x-a가 루트가 풀리면서 절대값이 되면 dD/DX=1+(x-a)/절대값(x-a) -> 에서 분모는 양수인거죠 절대값이니
분자는 x가 a보다 무조건 왼쪽에 놓여야 하니 무조건 음수 -> 이유가 맞나 모르겠는데 아무튼 분자가 음수여야 문제가 성립. 아무튼 분자 음수인 이유 아무거나 댐.
dD/DX=1+(-1)=0
진소한
23/05/12 17:09
수정 아이콘
(수정됨) 한미디로 y=b이고 x<a 이어야 dD/dx가 0인데 미분값이 0인 것이 최소값을 보장하는 것이 아니라서요.
이게 식이 복잡해서 짧은 미분실력 때문에 여기서 막힙니다.
메피스토
23/05/12 19:10
수정 아이콘
(수정됨) 보장 안한다고 생각하시는 이유를 전 오히려 모르겠네요.

미분값이 0이란 뜻은 부호가 그 점에서 바뀐다는 뜻인데, 그 점이 최대가 되고 최소가 된다는 것은 증명 대상이 아니에요. 미분을 배우는 시점에선 그 것의 증명을 받아들이는 것이라서 정의를 재증명하는건 의미가 없을 걸요. 잘 해 봤자 정의를 유도하는 걸 배우는 거고 그게 맞다고 치고 하는거지.

초등학생들이 1+1이 2라는걸 배운다고 1+1이 2라는 걸 증명하진 않잖아요. 파이가 뭔진 몰라도 무리수인것도 그냥 받아들이고 거기에 지름을 곱하면 뭐가 나오고 반지름 제곱을 하면 뭐가 나오고 그걸 배우는 단계에선 그냥 그게 맞다고 치고 넘어가는 것 처럼요.
이 관점이 궁금하신건지

아니면 저 문제 자체에서 y=b인 점이 미분값이 0인 건 알겠고, 그러니 부호가 바뀌는 점인건 알겠는데 왜 최소값인지 개념적으로 이해가 안된다고 하시면 y=b일때의 근처 노가다로 하시던, 수치해석 프로그램을 이용하시던 해서 그래프로 그려보시면 되지 않을까요.
그래프 대충 머리로 한번 그려보고 그럼 대충 이런모양이 나오니까 미분값이 0이면 최소겠네 <- 이게 불편하실 순 있겠는데 그 단순화가 미분 자체의 쓸모인걸요..

y=b까지 구하신거면 미분 엄청 잘하시는건데...
진소한
23/05/12 21:14
수정 아이콘
변곡점처럼 일차미분해서 0 이 된다고 해도 극값이 아닌 경우도 있고요. 제가 아는 지식은 f'(x)가 f'(a)=0 일 때 x=a의 좌우에서 f'(x)의 부호에 따른 극대 극소 판정법이랑, f''(a)의 부호로 판정하는 법만 아는데 이문제에선 y=b, x<0 이라는 dD/dx=0 의 해를 가지고 미분관련 지식으로 무언가 해결하는 방법이 있는지 알고 싶은건데요.
사실 기하학적으로만 하려면 맨처음 답변해주신 분 말대로 점R과 준선까지의 직선을 만드는 점P를 구하는 걸로 생각하면 너무 쉽죠.
에이치블루
23/05/13 10:25
수정 아이콘
포물선의 경우 3차식이 아니고 2차식이라 일차미분으로 0이 되면 최대/최소 중 하나임이 보장됩니다...
진소한
23/05/13 11:25
수정 아이콘
포물선 안에 있는 점 R(a, b)과 포물선 y^2=4px 상의 점 P(x, y)와의 거리 + 점 P와 초점(p, 0) 사이의 거리 D는
sqrt{x-p)^2 + y^2} + sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} 으로 2차식이 아니라 무리식이고 이를 다시 x에 관하여 미분한
dD/dx는 분모에 무리식이 있습니다.
목록 삭게로! 맨위로
번호 제목 이름 날짜 조회
172161 [질문] 중고차 판매할때 수리해서 파는게 이득일까요? [5] 연필깍이6584 23/08/17 6584
172160 [질문] 롤드컵 예매 관련 질문입니다 [21] 이데알레8681 23/08/17 8681
172159 [질문] 결혼식 스튜디오 촬영 맞춤정장 vs 기성정장 [9] 대출 30년8540 23/08/17 8540
172158 [질문] 글 내용을 미리 보는 확장 프로그램 있나요? 모르골5941 23/08/17 5941
172157 [질문] KT 13미니 -> SK 15프로 이동 고민입니다 가니야6156 23/08/17 6156
172156 [질문] 윤석렬의 부동산정책 [20] peoples9368 23/08/17 9368
172155 [질문] 냉장고 문을 열어놓고 출근했습니다.. 무사할까요? [24] 플레인9357 23/08/17 9357
172154 [질문] 조카들 선물 뭐가 좋을까요? [3] CastorPollux6730 23/08/17 6730
172153 [질문] 모니터와 컴퓨터 바꾸고 싶습니다. [19] LeNTE10759 23/08/17 10759
172152 [질문] (육아질문)아기가 입술을 뜯는 데 좋은 방법 없을까요? [3] Mikopap6553 23/08/16 6553
172151 [질문] 키보드 부팅 막는 방법 아시는 분? [2] 48271 23/08/16 8271
172150 [질문] 전세계약갱신권 사용 중 조기 퇴거시(임차인측) 복비 관련 [7] 오월의날씨7974 23/08/16 7974
172149 [질문] 테일러샵 맞춤 수트 괜찮은곳 있을까요? [9] AW7924 23/08/16 7924
172148 [질문] LCK 최종진출전 초등학생 관람 가능한가요? [6] 천사루티7623 23/08/16 7623
172147 [질문] 야구 심판(구심)이 오른쪽으로 콜하는 이유는 무엇일까요? [7] 쌍둥이아빠6294 23/08/16 6294
172146 [질문] 런닝화 진품 가품 차이 [5] 개떵이다7922 23/08/16 7922
172145 [질문] 아이폰15 언제 구매하는게 좋을까요? [12] 박용택7118 23/08/16 7118
172144 [질문] 비행기 티켓은 어떻게 구매하는게 가장 저렴한가요? [6] 쉬군8605 23/08/16 8605
172143 [질문] 무릎 부상 후 회복 문의 드립니다 [9] 대출 30년9135 23/08/16 9135
172142 [삭제예정] 고인의 안드로이드 핸드폰 비밀번호 푸는 방법이 있을까요? [7] 삭제됨8051 23/08/16 8051
172141 [질문] 아이폰 13프로에서 갤럭시로 넘어가고자 합니다. 추천 부탁드립니다. [19] 카즈하8348 23/08/16 8348
172140 [질문] 엑셀 텍스트 변경 질문 드립니다 [7] Life's Too Short6308 23/08/16 6308
172139 [질문] 삐따기라는 만화책 볼만한가요? [9] 애플댄스8183 23/08/16 8183
목록 이전 다음
댓글

+ : 최근 1시간내에 달린 댓글
+ : 최근 2시간내에 달린 댓글
맨 위로