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Date 2020/03/20 20:13:04
Name 치카치카
File #1 그림1.jpg (13.1 KB), Download : 54
File #2 그림2.jpg (13.3 KB), Download : 32
Subject [질문] 도형 질문? 수학 질문 드립니다.




안녕하세요.

스타1 경기를 가끔 보는데 문득 4인용 맵에서 오버로드가 정찰하는 모습을 보면서
어떤 경로로 가는게 가장 최단거리일까?라는 궁금증에서 시작했는데..
문과에 수능본지도 10년이 훌쩍 넘고.. 어떻게 접근해야 될지 모르겠더라고요.

가끔 머리속으로 생각만해보다가 이렇게 그림을 그려 질문을 드립니다.
추가적으로 문제를 풀려면 반드시 설정되어야 할 조건이 있다면 알려주시면 감사하겠습니다.
도형문제를 질문드릴려고 하니 생각보다 조건을 설정해야 될 게 많은것 같은데
일단 질문드립니다.

1. 그림1 사각형은 직사각형(혹은 정사각형),
점c는 원의 중심이며, 선분 bc는 사각형 오른쪽 아래 모서리부터 원의 중심까지 연결한 선이고
이 때 호(?) de는 원과 사각형이 만나는 지점부터 원과 선분bc가 만나는 곳까지 입니다.

질문1)
a에서 출발해서 호de를 터치하고 다시 b까지 가는 경로의 최단거리를 구하려면 어떻게 해야 하나요?
질문2)
삼각형 adb 부터 aeb까지 호de안에 무수히 많은 점을 찍어서 삼각형을 그린다면
d에서 e로 갈수록 길이가 늘어난다거나, 줄어든다거나 일정한 패턴이 있나요?
질문3)
사각형은 정사각형일 수도 직사각형일 수도 있고(가로 세로 길이가 달라짐)
원의 위치도 아래로 올라갈수도 있고 올라갈수도 있다고 할떄 상황에 따라 답이 달라지나요?
극단적으로 원이 사각형 가로와 접하면 점a와 점d가 붙고 이경우에는
삼각형 aeb보다 adb가 직선이니깐 거리가 짧은건 당연할거 같은데 상황에 따라 달라질지 궁금합니다.

2. 그림2 사각형은 직사각형(혹은 정사각형),
점d는 사각형의 가로 위쪽의 중간지점이고 점c는 사각형 왼쪽 위 모서리일때

질문4)
a에서 출발해서 c와d사이 무수히많은 점을 찍고 b로 간다면
최단거리는 어느지점에 있나요?

질문5) 사각형이 정사각형일때와 직사각형으로 가로와 세로의 길이가 달라질 때 최단거리의
위치가 변동이 되나요?

감사합니다.

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이혜리
20/03/20 20:45
수정 아이콘
질4 는 그냥 접힌직사각형이라고 생각하고 펼쳤을 때 직선만들면 거기가 최단거리.
치카치카
20/03/20 21:20
수정 아이콘
(수정됨) 답변 감사합니다.
말씀해주신대로 생각해보니깐 직관적으로 최단거리가 그려지는데

접힌 직사각형이라는게 사각형 윗변에 대칭되는 가상의 사각형을 그리고 좌측하단 모서리부터
우측상단 모서리까찌 직선을 그리는걸 상상했는데
그러면 직사각형이든 정사각형이든 모든 경우 사각형 윗변의 정중앙을 찍고 갔을때가 최단거리가 되는게 맞을까요?
제가 이해를 제대로 했는지 모르겠는데 맞다면 질문4번 5번에 대한 궁금증이 풀렸네요. 감사합니다.
20/03/20 22:13
수정 아이콘
질1) 원에서 각도 theta에 따른 점 a와 점 b 사이의 거리를 합한 다음 theta에 대해서 미분해서 0이 나오는 각도를 찾은 뒤 조사하면 될 것 같습니다. 더 쉬운 방법이 있을 것 같긴 한데, 떠오르지는 않네요.
질2) 직관적으로 생각했을 때 (대체적으로) 접점이 d에서 e로 이동하는 중에 길이가 줄어들었다가 다시 늘어날 것으로 생각합니다.
질3) 상황에 따라 답이 달라집니다.
질4) 위에 답이 있습니다.
질5) 최단거리 위치는 중앙이고, 가로 길이가 달라지면 (좌표값이) 변동이 될겁니다.
치카치카
20/03/20 22:33
수정 아이콘
제가 배움이 짧아서 질문1에 대한 답변이 이해가되질 않네요..ㅜㅜ 7차과정이라 미분은 배우질 않았는데 혹시 더 쉽게 설명해주실 수 있을까요ㅠㅠ

그리고 질5에 대한 답변은 좌표값이 변동된다는게 어떤 의미일까요? 항상 중앙을 찍고 가는게 최단거리가 아니라는 말씀이신가요? 질4에 답이 있다고 하는데 제가 정확히 이해를 한게 맞는지 모르겠습니다..
20/03/20 22:39
수정 아이콘
많은 최단거리 구하기 문제의 솔루션으로 미분이 제시되기 때문에 이 부분은 미분 없이는 풀기 어렵지 않나 싶습니다;
대략적으로 말씀드리면, 좌표를 아주 조금씩 옮겨가면서 경로의 길이가 늘어나는지, 또는 줄어드는지 그 정도를 보는 것이 미분입니다. 아마 점을 옮겨갈수록 길이가 점점 줄어들다가, 어느 순간엔 더이상 줄어들지 않고 바로 다음 순간에는 경로 길이가 다시 늘어나게 될텐데, 이 때 경로가 줄어들지도, 늘어나지도 않는 (미분했을때 0이 나오는) 지점이 최단거리가 된다는 식입니다.
5번은 위에서 이해하신 내용이 맞습니다.
치카치카
20/03/20 22:52
수정 아이콘
넵 친절한 답변감사드립니다.

마지막으로 질문드리면 최단거리는 d와e사이의 접점에 있고 그위치는 사각형 가로의길이와 원의크기에 따라 달라질거라고 말씀하신게 맞나요?

제가 본문에는 못적었는데 직관적으로 느낄때 원의 크기와 사각형 가로의 길이의 변화와 관계없이 항상 d가 최단거리일거 같은데 이건 틀린생각이겠죠?(근거는 없습니다만...)
20/03/20 23:06
수정 아이콘
네, 이해하신대로 (일부 특수한 경우를 제외하고) 일반적으로는 최단거리가 d와 e 사이의 점을 통과하는 게 맞을거고, 그 위치는 상황에 따라 달라집니다.

가령 가로가 6, 세로가 3인 박스를 그리고 점 a의 위치는 (0,3) 점 b의 위치는 (6,3) 이라고 하고, 점 c의 위치는 (0,1), 그리고 점 c를 중심으로 하는 원의 반지름이 1이라고 했을 때 점 d의 위치는 (0,2)가 될 거고...
이 때 원 위의 점 x를 놓고 선분 ax + 선분 bx 의 길이가 최단이 되는 각도 dcx 는 0도가 아니라 대강 56도 근처쯤이 됩니다.
위 예시는 계산이 귀찮아서 그냥 엑셀에 여러 각도 때려넣고 값만 구해본 것임을 일단 밝힙니다...
치카치카
20/03/21 16:08
수정 아이콘
답변 감사드립니다.!
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