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13/10/06 21:25
별건 아니고 특별히 익히실 필요가 있나 싶습니다.
암산할때 가끔 쓰죠 예를들어 13+23+33+43 이라면 1234는 10이고 3은 네게니깐 3*4니깐 112 이런식으로요. 암산 많이 하시는 분들은 숫자를 쪼개고 재배치하고 재조합하는게 유리한데 암산안하면 큰 필요없습니다.
13/10/06 21:34
실용적인 목적이 있는 건 아니고 그냥 수학적 인식에 어떤 차이가 주어지는지가 궁금해서요. 단순히 암산을 수월하게 만드는 게 목적이라면 그냥 구구단만 열심히 외워도 될 것 같은데, 교육 과정에서 굳이 어떤 원칙을 도입하는 데는 다른 이유가 있을 것 같기도 하고요.
13/10/06 21:42
단순히 구구단을 열심히 외운다고 암산을 잘할수 있는것이 아닙니다.
숫자를 쪼개고 해부하고 재배치 하는게 필요합니다. 숫자로 인수분해도 하고 머리속에서 결합 교환법칙 다 쓰죠. 그런 과정에서 덧셈과 곱셈의 호환이 가능해진다는건 충분한 메리트 맞습니다. 그리고 또한 동수누가는 뭔가 원칙을 도입했다고 보기 힘듭니다. 곱셈의 정의를 알려주는거니깐요 수학에서 정의를 배우는게 원칙을 도입했다고 말할 일은 아니죠
13/10/06 22:04
제가 조금 잘못 쓴 것 같네요. 수학의 원칙이 아닌 수학 교육의 원칙을 말씀드린 거였습니다. 가르치는 방식의 문제요. 당장 수많은 커뮤니티에서 저 게시물이 파이어될 때 동수누가의 개념을 모르는 분들이 저를 포함해서 꽤 많았던 것 같아서요. 단순히 수업을 열심히 듣지 않아서 그런 건지 과거 공교육에서 그런 원칙을 도입하지 않아서 그런 건지는 모르겠지만요.
제가 주목했던 부분은 파이어되는 와중에 교육 쪽 종사하시는 분들이 "저렇게 교육하는 게 맞다"고 언급하신 내용이었습니다. 교육학, 특히 공교육에 대한 것이라면 단순히 지식을 어떻게 잘 습득시킬 것인지를 고민하는 데 그치지 않고 당장의 교육이 어떤 사람을 길러낼 것인지에 대한 연구를 포함할 것 같아서요. 요컨대 초등 수학 교육이 단순히 '암산을 잘 하는 사람을 키운다'는 목적으로 이루어질 것 같지는 않다는 생각이 들었습니다. 수학교육의 목적이 더 높은 차원에서 '수학적 사고력'을 길러내는 것이라고 했을 때, 거기에 동수누가 개념이 어떻게 적용되는지가 궁금했던 거고요.
13/10/06 22:14
효용성의 측면에서 암산이고 사실 암산을 잘하는 사람들이 암산만 잘하는게 아니고 계산은 훨씬 빠르고 정확합니다.
근데 그것과 별개로 교육의 원칙으로서도 마찬가지인게 곱셈이란것의 정의에 대해서 이해하는 방식인건데 그걸 가르치 것입니다. 결국 동수누가를 모른다면 곱셈에 대해서 구구단부터 시작해서 외워야 하는거죠. 그것 자체가 수학적 사고력 증진입니다. 하나의 연산자를 알려주는데 그것의 정의에 대해서 알려주는건 별도의 이유가 필요없는 일입니다. 그게 아니면 암기시켜야 되니깐요. 실제로 모르시는 분들은 암기해서 그런게 맞습니다. 곱셈의 뜻보다는 구구단부터 시작한거죠. 3 X 0 은 왜 0일까요. 설명할수가 없죠.
13/10/06 21:40
구구단 때문에 그러면 진법을 바꿔서 보면 어떨까요. 예를 들면, 101(2) x 110(2). 그리고 로피탈이나 케일리 헤밀턴의 정리 가져다 쓰는 느낌으로 보셔도 되지 않을까 조심스럽게 댓글을 달아봅니다.
13/10/06 22:07
이진법으로 보니 확실히 다르긴 하네요. 그런데 로피탈이나 케일리 헤밀턴 정리는 어떻게 관련이 되는 건가요? (이게 이해가 안 되는 걸 보니 제가 닥치고 구구단 외워서 수학 시작했던 게 맞는 것 같네요.)
13/10/06 23:15
일일이 그 과정을 생각하는 상황도 있겠지만 보통의 경우에는 유도 과정은 생략하고 앞뒤 결과만 대략적으로 차용해서 보지 않나 싶어서 적었습니다. 대개 문장을 읽을 때도 단어 의미를 하나 하나 세세하게 신경 쓰면서 보지는 않으니까요.
13/10/06 23:25
수학과외할 때 함수와 방정식의 개념을 설명하지 못해 난감했던 기억이 나네요. 뭔가 어렴풋하게 감은 잡히는데 문장으로 풀어 설명하기는 힘들더군요. 로피탈 같은 세세한 공식들은 어렴풋한 것도 없어서 "나도 그냥 외웠으니 너도 그냥 외워라"고 했고요. 뭔가 많이 빼먹고 공부했던 것 같습니다.
13/10/06 22:00
그렇게 고민할 정도로 대단한건 아닙니다.
초등학생에게 곱셈을 처음 도입할 때는 동수누가, 조합 모델, 직사각형 모델 등으로 도입시킬 수 있어요. 조합 모델은 티셔츠 두개, 바지 세개일때 몇 가지 조합이 나오냐 이런거고 직사각형 모델은 바둑돌이 가로 두 줄, 세로 두 줄 일때 총 몇 개냐 뭐 이런거였던 걸로 기억합니다. 처음 곱셈을 도입할 때 자연수와 구체물에 익숙한 초등학교 2학년 아이들에게 구체물 여러 개를 두 개씩 묶어 세거나 세 개씩 묶어 세거나 네 개씩 묶어 세거나 하는 등으로 자연스럽게 동수누가 개념을 익히게 한다 뭐 이런거였습니다. 이 동수누가도 한계가 있는게 2 곱하기 1/2 이런거는 동수누가로 생각할 수 없는 상황이 되버려서(2를 1/2번 더한다???) 고학년이 되면서 자연스럽게 배개념으로 확장시켜야 하겠죠. 아까 그 문제에서는 곱셈에서 앞에 있는 수와 뒤에 있는 수의 의미가 다르다는 생각을 해야한다는 게 핵심이었던 것 같습니다. 2 곱하기 1/2를 생각한다 해도 2 곱하기 1/2 는 2의 절반이고, 교환법칙이 적용된 1/2 곱하기 2는 1/2가 두개라는 뜻이 되버리니까요. 현직 교사이고 6학년 맡고 있어서 2학년 교육과정을 완전히 알고 있지는 못해서 정확히 말씀드린건지는 잘 모르겠습니다..
13/10/06 22:16
와... 한 번도 그렇게 생각해본 적 없는데 흥미롭네요. 혹시 말씀하신 내용이 담긴 수학교육 관련 서적이 있다면 추천해주실 수 있으신가요? 어디 써먹으려는 건 아닌데 저 게시물 보고 조금 찾다 보니 호기심이 생기네요.
13/10/06 22:24
초등학교 수학 교사용 지도서요................... 어지간한 초등 수학교육론 관련 책에 저 정도 내용은 다 있습니다. 제가 대학 때 보던 책은 본가에 있어서 나와 있는 지금은 알 수가 없네요. 연산 파트 곱셈이나 나눗셈 부분은 꽤 재밌긴 해요.
13/10/06 22:33
아 그런 게 있군요. 오래 돼서 잊었었는데 학교 다닐 때 선생님들 책상에서 봤던 기억이 나네요. 시간 날 때 노량진쪽 서점 한번 둘러봐야겠습니다. 감사합니다.
13/10/06 23:57
그런거 없습니다.
자연수/정수에 관한 연산은 어떻게 배우든 내용 자체가 달라지는 것은 아니고 이런 내용을 어떻게 하면 아이들에게 더 쉽게 이해시킬 수 있을까 해서 다양한 모델이 제시되어 있을 뿐입니다. 예를들면 중학교에서 음수 * 음수는 양수가 되는데 이것을 학생들에게 어떻게 이해시키면 좋을까? 같은 문제가 대표적이라고 할 수 있겠네요. 이걸 설명하는 다양한 모델들이 있지만, 특정 모델로 배운다고 해서 다른 모델을 이해할 수 없는것도 아니고 어떤 특정한 모델이 더 수학의 본질에 가깝다고 볼수도 없습니다. 도서는.. 별로 추천드리고 싶지가 않네요. 비전공자가 볼만한 수학교육론 교재란 것은 존재하지 않습니다. 재미도 없고요.
13/10/07 00:24
세상 바라보는 방식, 사는 방식이 달라질 수 있을 것 같아서요. 구구단 외우고 공부했어도 수능 점수 만족스럽게 나왔고 암산도 잘 합니다. 근데 교육의 목적이 거기 그치는 건 아니라는 생각이 들어서 질문드렸습니다.
13/10/07 01:54
글쎄요. 동수누가 같은건 운 좋게도 수학적 정의와 역사적 발생이 일치하지만 많은 수학적 개념들은 그 정의가 실제 발생원리나 개념과 동떨어진 경우가 드물지 않게 있습니다. 이런건 정의를 가르쳐서 되는게 아니라 그 발생적 맥락을 알려줘야 하죠.
또한 학생들에게 설명하는 모델이란 수학적 개념에 대한 '모사'에 불과하기 때문에(플라톤의 이데아론을 생각하시면 되겠습니다) 어설픈 모델로 인해 잘못된 개념이미지가 생성될 수도 있고요.
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